Question

如图，斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧面AA₁C₁C是面积为的菱形，∠ACC₁为锐角，侧面ABB₁A₁⊥侧面AA₁C₁C，且A₁B=AB=AC=1．
（Ⅰ）求证：AA₁⊥BC₁；
（Ⅱ）求三棱锥A₁-ABC的体积．

Answer

（Ⅰ）要证：AA1⊥BC1，先说明△AA1B是等边三角形，设D是AA1的中点、连接BD，C1D，证明AA1⊥平面BC1D，即可．
（Ⅱ）求三棱锥A1-ABC的体积．转化为B-AA1C的体积，求出底面面积和高即可求解．
证明（1）：因为四边形AA1C1C是菱形，所以有AA1=A1C1=C1C=CA=1．
从而知△AA1B是等边三角形．（2分）
设D是AA1的中点、连接BD，C1D，
则BD⊥AA1，由=．
知C1到AA1的距离为．∠AA1C1=60°，
所以△AA1C1是等边三角形，（4分）
且C1D⊥AA1，所以AA1⊥平面BC1D．（6分）
又BC1⊂平面BC1D，故AA1⊥BC1．（7分）
（2）由（1）知BD⊥AA1，又侧面ABB1A1⊥侧面AA1C1C，
所以BD⊥平面AA1C1C，
即B到平面AA1C1C的距离为BD．（9分）
又=，BD=．
所以==•BD=××=．（13分）
故三棱锥A1-ABC的体积为．（14分）