Question

（1）已知△ABC三边a，b，c成等差数列，求B的范围；
（2）已知△ABC三边a，b，c成等比数列，求角B的取值范围．

Answer

（1）由a，b，c成等差数列，利用等差数列的性质得到2b=a+c，再由余弦定理表示出cosB，两式联立小于b，得到关于a与c的关系式，整理后利用基本不等式变形，可得出cosB的范围，利用余弦函数的图象与性质，以及特殊角的三角函数值，根据B为三角形的内角，即可求出B的范围；
（2）由a，b，c成等比数列，利用等比数列的性质得到b2=ac，再由余弦定理表示出cosB，两式联立小于b，得到关于a与c的关系式，整理后利用基本不等式变形，可得出cosB的范围，利用余弦函数的图象与性质，以及特殊角的三角函数值，根据B为三角形的内角，即可求出B的范围．
【解析】
（1）∵△ABC的三边a，b，c成等差数列，∴2b=a+c，
又cosB=，
∴消去b化简得：cosB=-≥-=，
又B为三角形的内角，
∴B∈（0，]；
（2）∵△ABC的三边a，b，c成等比数列，∴b2=ac，
又cosB=，
∴消去b化简得：cosB=-≥-=，
又B为三角形的内角，
∴B∈（0，]．