Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，边长是a，PD=a，PA=PC=，
（1）证明：PD⊥平面ABCD；
（2）求点A到平面PBD的距离；
（3）求二面角A-PB-D的大小．

Answer

（1）证明PD⊥平面ABCD，利用线面垂直的判定，证明PA⊥DA，PA⊥DC即可；
（2）设AC∩BD=O，证明AC⊥平面PBD，从而线段AO的长即为点A到平面PBD的距离；
（3）过点O作OE⊥PB于点E，连接AE，可证AEO是二面角A-PB-D的平面角，在Rt△AEO中，可求二面角A-PB-D的大小为60°．
（1）证明：∵底面ABCD为正方形，边长是a，PD=a，PA=PC=，
∴PA2=PD2+DA2，PC2=PD2+DC2，
∴PA⊥DA，PA⊥DC（2分）
∵DA∩DC=D
∴PD⊥平面ABCD（3分）
（2）【解析】
设AC∩BD=O，在正方形ABCD中，AC⊥BD，（4分）
∵PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD
∴PD⊥AC    
∵BD∩PD=D
∴AC⊥平面PBD（5分）
∴线段AO的长即为点A到平面PBD的距离（6分）
∴
∴点A到平面PBD的距离为（7分）
（3）【解析】
过点O作OE⊥PB于点E，连接AE
∵AO⊥平面PBD，∴由三垂线定理得AE⊥PB
∴∠AEO是二面角A-PB-D的平面角（9分）
∵PD⊥平面ABCD，∴AD⊥AB，由三垂线定理得PA⊥AB
在Rt△PAB中，，∴（10分）
∴在Rt△AEO中，sin∠AEO=（11分）
∴二面角A-PB-D的大小为60°（12分）