Question

设x₁，x₂（x₁≠x₂）是函数f（x）=ax³+bx²-a²x（a＞0）的两个极值点．
（Ⅰ）若x₁=-1，x₂=2，求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若的最大值；
（Ⅲ）设函数g（x）=f（x）-a（x-x₁），x∈（x₁，x₂），当x₂=a时，求证：．

Answer

（Ⅰ）由f（x）=ax3+bx2-a2x（a＞0），知f′（x）=3ax2+2bx-a2，（a＞0），由，（a＞0），能求出函数f（x）的解析式．
（Ⅱ）由f′（x）=3ax2+2bx-a2，（a＞0），依题意，x1，x2是方程f′（x）=0的两个根，且，所以，由此能求出b的最大值．
（Ⅲ）由x1，x2是方程f′（x）=0的两根，知f′（x）=3a（x-x1）（x-x2），由，x2=a，知，故|g（x）|=|3a（x+）[3（x-a）-1]，由此能够证明|g（x）|≤．
【解析】
（Ⅰ）∵f（x）=ax3+bx2-a2x（a＞0），
∴f′（x）=3ax2+2bx-a2，（a＞0），
依题意有，（a＞0）
解得a=6，b=-9，
∴f（x）=6x3-9x2-36x．
（Ⅱ）∵f′（x）=3ax2+2bx-a2，（a＞0），
依题意，x1，x2是方程f′（x）=0的两个根，且，
∴，
∴，
∴b2=3a2（6-a），
∵b2≥0，∴0＜a≤6，
设p（a）=3a2（6-a），则p′（a）=-9a2+36a，
由p′（a）＞0，得0＜a＜4，
由p′（a）＜0，得a＞4，
即：函数p（a）在区间（0，4]上是增函数，在[4，6]上是减函数．
∴当a=4时，p（a）有极大值为96，
∴p（a）在（0，6]上的最大值是
∴b的最大值是4．
（Ⅲ）证明：∵x1，x2是方程f′（x）=0的两根，
∴f′（x）=3a（x-x1）（x-x2），
∵，x2=a，∴，
∴|g（x）|=|3a（x+）[3（x-a）-1]，
∵x1＜x＜x2，即，
∴，
∴=-3a++
≤=，
∴|g（x）|≤成立．