Question

如图，在△ABC中，∠ABC=45°，∠BAC=90°，AD是BC上的高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC=90°．
（1）若E，F分别为 AB，AC的中点，求证：EF∥平面BDC；
（2）证明：平面ADB⊥平面BDC；
（3 ）设BD=1，求三棱锥D-ABC的表面积．

Answer

（1）利用三角形中位线定理，可得EF∥BC，结合线面平行的判定定理，可证出EF∥平面BDC；
（2）由CD与AB、AD两条相交直线垂直，得到CD⊥平面ADB，再根据平面ADC经过平面ADB的垂线，可得平面ADB⊥平面BDC；
（3）根据题意不难得到该三棱锥有三个面是全等的等腰直角三角形，另一个面是等边三角形，由此结合BD=1即可得到三棱锥D-ABC的表面积．
【解析】
（1）在右图中，因为△ABC中，E、F分别为 AB、AC的中点，．
∴EF∥BC
∵EF⊈平面BDC，BC⊂平面BDC，
∴EF∥平面BDC；
（2）∵左图中，AD是等腰Rt△ABC斜边BC的中线
∴CD⊥AD，在右图中依然成立
又∵右图中，CD⊥BD，AD、BD是平面ABD内的相交直线
∴CD⊥平面ADB
∵CD⊂平面BDC，∴平面ADB⊥平面BDC；
（3）由（2）知，AD、BD、CD两两垂直
∵BD=1，∴AD=BD=CD=1
∴三角形ADC的面积S△ADC=×AD×CD=，
同理可得S△BDC=S△ABD=
∵Rt△ADC中，AC=，同理可得AB=BC=
∴△ABC是边长为的等边三角形，面积为S△ABC==
由此可得三棱锥D-ABC的表面积为：S△ADC+S△BDC+S△ABD+S△ABC=．