Question

已知函数，f（x）=x²，g（x）=2eln（x＞0）（e为自然对数的底数），它们的导数分别为f′（x）、g′（x）．
（1）当x＞0时，求证：f′（x）+g′（x）≥4；
（2）求F（x）=f（x）-g（x）（x＞0）的单调区间及最小值．

Answer

（1）分别求出f′（x）、g′（x），然后利用基本不等式可证得结论；
（2）先求F′（x），然后利用导数符号确定函数的单调性，再根据单调性可得函数的最值．
【解析】
（1）∵x＞0，f′（x）=2x，g′（x）=，
∴f′（x）+g′（x）=2（x+）≥2×2=4，
当且仅当x=，即x=时，等号成立．
∴f′（x）+g′（x）≥4
（2）F′（x）=f′（x）-g′（x）=2（x-）=（x＞0），
令F′（x）=0，得x=（x=-舍），
∴当0＜x＜时，F′（x）＜0，F（x）在（0，）上单调递减；
当x＞时，F′（x）＞0，F（x）在（，+∞）上单调递增．
∴当x=时，F（x）有极小值，也是最小值，即F（x）min=F（）=e-2eln=0．
∴F（x）的单调递增区间为（，+∞），单调递减区间为（0，），最小值为0．