Question

对于定义域为[0，1]的函数f（x），若同时满足以下三个条件：
①f（1）=1； 
②∀x∈[0，1]，总有f（x）≥0； 
③当x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1时，都有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂），则称函数f（x）为理想函数．
（Ⅰ）若函数f（x）为理想函数，求f（0）．
（Ⅱ）判断函数g（x）=2^x-1（x∈[0，1]）和函数（x∈[0，1]）是否为理想函数？若是，予以证明；若不是，说明理由．
（III）设函数f（x）为理想函数，若∃x∈[0，1]，使f（x）∈[0，1]，且f[f（x）]=x，求证：f（x）=x．

Answer

（I）赋值可考虑取x1=x2=0，代入f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2），可得f（0）≥f（0）+f（0），由已知f（0）≥0，可得f（0）=0
（II）要判断函数g（x）=2x-1，（x∈[0，1]）在区间[0，1]上是否为“理想函数，只要检验函数g（x）=2x-1，（x∈[0，1]是否满足题目中的三个条件
（III）由条件③知，任给m、n∈[0，1]，当m＜n时，由m＜n知n-m∈[0，1]，f（n）=f（n-m+m）≥f（n-m）+f（m）≥f（m）．由此能够推导出f（x）=x．
【解析】
（I）取x1=x2=0，代入f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2），可得f（0）≥f（0）+f（0）
即f（0）≤0
由已知∀x∈[0，1]，总有f（x）≥0可得f（0）≥0，
∴f（0）=0
（II）显然g（x）=2x-1在[0，1]上满足g（x）≥0；②g（1）=1．
若x1≥0，x2≥0，且x1+x2≤1，
则有g（x1+x2）-[g（x1）+g（x2）]=-1-[（-1）+（-1）]=（-1）（-1）≥0
故g（x）=2x-1满足条件①②③，所以g（x）=2x-1为理想函数．
对应函数在x∈[0，1]上满足①h（1）=1； ②∀x∈[0，1]，总有h（x）≥0；
③但当x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1时，例如=x2时，h（x1+x2）=h（1）=1，而h（x1）+h（x2）=2h（）=，不满足条件③，则函数h（x）不是理想函数．
（III）由条件③知，任给m、n∈[0，1]，当m＜n时，由m＜n知n-m∈[0，1]，
∴f（n）=f（n-m+m）≥f（n-m）+f（m）≥f（m）．
若f（x）＞x，则f（x）≤f[f（x）]=x，前后矛盾；
若：f（x）＜x，则f（x）≥f[f（x）]=x，前后矛盾．
故f（x）=x．