Question

设命题p：函数f（x）=2^|x-a|在区间（1，+∞）上单调递增；命题q：a∈{y|y=，x∈R}，如果“p且q”是假命题，“p或q”是真命题，求实数a的取值范围．

Answer

根据复合函数单调性确定函数f（x）=2|x-a|在区间（1，+∞）上单调递增的实数a的取值范围，求出其补集；再结合命题q为真时，求出a的范围，最后结合复合命题的真假分情况讨论后即可得到结论．
【解析】
∵函数f（x）=2|x-a|的外函数y=2u在其定义域R上为增函数
若函数f（x）=2|x-a|在区间（1，+∞）上单调递增
则内函数u=|x-a|在区间（1，+∞）也要为增函数
又∵u=|x-a|在区间[a，+∞）为增函数
∴（1，+∞）⊂[a，+∞）
即a≤1；
故若p为假命题时，a＞1；
命题q：a∈{y|y=，x∈R}，4x＞0⇒16-4x＜16⇒y=∈[0，4）．
∴a∈[0，4）．
q假时，a∈（-∞，0）∪[4，+∞）．
∵“p且q”是假命题，“p或q”是真命题
∴①p真q假，②p假q真；
当p真q假时⇒⇒a＜0；
当p假q真时，⇒1＜a≤4．
综上：实数a的取值范围为：（-∞，0）∪（1，4]．