Question

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各棱长都等于2，D在AC₁上，F为BB₁中点，且FD⊥AC₁．
（1）试求的值；
（2）求二面角F-AC₁-C的大小；
（3）求点C₁到平面AFC的距离．

Answer

（1）取BC的中点O，以OB为x轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，求出各点坐标，设，根据建立关于λ的方程，可求出所求；
（2）先求出平面FAC1的一个法向量，再求出平面ACC1的一个法向量，根据⊥，可得二面角F-AC1-C的大小；
（3）先求出平面AFC的一个法向量，然后根据C1到平面AFC的距离为进行求解即可．
【解析】
取BC的中点O，建立如图所示的空间直角坐标系．
由已知得
（1）设，则，
得，
∵FD⊥AC1．
∴
即
解得λ=1，即．（4分）
（2）设平面FAC1的一个法向量为n1=（x1，y1，1）
∵=（1，1，），由得，
又由，得，
∴∴=（，，1）
仿上可得平面ACC1的一个法向量为．（6分）
∵=-×+0+1×1=0
∴⊥．故二面角F-AC1-C的大小为90°．（8分）
（3）设平面AFC的一个法向量为，
由得x+y-=0
又=（-1，0，-），由得．
解得，∴=（-，2，1）
所以C1到平面AFC的距离为=．