Question

已知f（x）=x²-alnx在（1，2]上是增函数，在（0，1）上是减函数．
（1）求a的值；
（2）设函数在（0，1]上是增函数，且对于（0，1]内的任意两个变量s，t，恒有f（s）≥φ（t）成立，求实数b的取值范围；
（3）设，求证：[h（x）]ⁿ+2≥h（xⁿ）+2ⁿ（n∈N*）．

Answer

（1）依题意，当x∈（1，2]时，f'（x）≥0恒成立，即a≤（2x2）min可得a≤2，当x∈（0，1）时，g'（x）≤0恒成立，即a≥2，从而可求a
（2）由导数可得f（x）在（0，1]上是减函数，最小值是f（1）=1.在（0，1]上是增函数可得恒成立，得b≥-1，且φ（x）的最大值是φ（1）=2b-1，则1≥2b-1可求b的范围
（3）由已知可得h（x）=x+
n=1时不等式左右相等，得证；n≥2时，利用二项展开式进行放缩可证
【解析】
（1），依题意，当x∈（1，2]时，f'（x）≥0恒成立，即a≤（2x2）min⇒a≤2.，当x∈（0，1）时，g'（x）≤0恒成立，即a≥2，所以a=2．…（5分）
（2），所以f（x）在（0，1]上是减函数，最小值是f（1）=1.在（0，1]上是增函数，即恒成立，得b≥-1，且φ（x）的最大值是φ（1）=2b-1，
由已知得1≥2b-1⇒b≤1，所以b的取值范围是[-1，1]．…（5分）
（3），
n=1时不等式左右相等，得证；
n≥2时，=，
所以[h（x）]n+2≥h（xn）+2n（n∈N*）成立．…（5分）