Question

如图，AC 是圆 O 的直径，点 B 在圆 O 上，∠BAC＝30°，BM⊥AC交 AC 于点 M，EA⊥平面ABC，FC//EA，AC＝4，EA＝3，FC＝1．

（I）证明：EM⊥BF；

（II）求平面 BEF 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值．

Answer

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）先以点为坐标原点建立空间直角坐标系，并以此确定、、、四点的坐标，通过验证来达到证明的目的；（Ⅱ）求出平面与平面各自的法向量，利用空间向量法求出平面与平面所成锐二面角的余弦值.

试题解析：（1），．

如图，以为坐标原点，垂直于、、所在的直线为轴建立空间直角坐标系．由已知条件得，，，，，

．

由，

得， ．  

（2）由（1）知，．

设平面的法向量为，

由，得，

令得，，，

由已知平面，所以取面的法向量为，

设平面与平面所成的锐二面角为，

则，

平面与平面所成的锐二面角的余弦值为． 

考点：直线与直线的垂直、二面角、空间向量法