Question

已知函数，.

(Ⅰ)若，求函数在区间上的最值；

(Ⅱ)若恒成立，求的取值范围.

注：是自然对数的底数

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）将代入函数解析式，并将函数解析式中的绝对值去掉，写成分段函数，并将定义域分为两部分：与，利用导数分别求出函数在区间与上的最大值与最小值，然后进行比较，最终确定函数在区间上的最大值与最小值；（Ⅱ）利用参数分离法将不等式进行转化，借助“大于最大值，小于最小值”的思想求参数的取值范围，不过在去绝对值符号的时候要对自变量的范围进行取舍（主要是自变量的范围决定的符号）.

试题解析：(Ⅰ) 若，则.

当时，，

，

所以函数在上单调递增；

当时，，

.

所以函数在区间上单调递减，

所以在区间上有最小值，又因为，

，而，

所以在区间上有最大值.

(Ⅱ) 函数的定义域为．

  由，得．            （*）

（ⅰ）当时，，，

不等式（*）恒成立，所以；

（ⅱ）当时，

①当时，由得，即，

现令， 则，

因为，所以，故在上单调递增，

从而的最小值为，因为恒成立等价于，

所以；

②当时，的最小值为，而，显然不满足题意.

综上可得，满足条件的的取值范围是.

考点：利用导数求函数的最值、分段函数、参数分离法