Question

已知函数的定义域为，若在上为增函数，则称为“一阶比增函数”；若在上为增函数，则称为“二阶比增函数”.我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为，所有“二阶比增函数”组成的集合记为.

(Ⅰ)已知函数，若且，求实数的取值范围；

(Ⅱ)已知，且的部分函数值由下表给出，

 求证：；

(Ⅲ)定义集合

请问：是否存在常数，使得，，有成立？若存在，求出的最小值；若不存在，说明理由.

Answer

（I）(Ⅱ)见解答(Ⅲ) .

【解析】

试题分析：（I）理解且的意义,代入后利用函数的性质求解; (Ⅱ)通过表格得到 ，再运用为增函数建立不等式，导出，运用 即可. (Ⅲ)判断 即运用反证法证明,如果使得则利用即为增函数一定可以找到一个，使得，对成立;同样用反证法证明证明在上无解;从而得到，对成立,即存在常数，使得，，有成立,选取一个符合条件的函数判断 的最小值是 ,由上面证明结果确定 即是符合条件的所有函数的结果.

试题解析：（I）因为且，

即在是增函数，所以         2分

而在不是增函数，而 

当是增函数时，有，所以当不是增函数时，.

综上得       4分

(Ⅱ) 因为，且 

所以，

所以，

同理可证，

三式相加得 

所以                                                     6分

因为所以 

而， 所以 

所以                                           8分

(Ⅲ) 因为集合 且存在常数 ,使得任取 

  所以，存在常数 ，使得   对成立

我们先证明对成立

假设使得，

记 

因为是二阶增函数，即是增函数.

所以当时，，所以 

所以一定可以找到一个，使得 

这与  对成立矛盾                                 11分

对成立

 所以，对成立

下面我们证明在上无解

假设存在，使得，

则因为是二阶增函数，即是增函数

一定存在，这与上面证明的结果矛盾

所以在上无解

综上，我们得到，对成立

所以存在常数，使得，，有成立

又令，则对成立，

又有在上是增函数 ，所以，

而任取常数，总可以找到一个，使得时，有 

所以的最小值 为.                                          14分

考点：阅读能力,构造函数能力,逻辑推理能力,反证法证明,不等式证明,函数单调性应用.