Question

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D，E分别是AB，BB₁的中点，AA₁＝AC＝CB＝AB．

（Ⅰ）证明：BC₁∥平面A₁CD；

（Ⅱ）求二面角D-A₁C-E的正弦值．

Answer

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）在平面内找一条直线与已知直线平行，通过线线平行可证；（Ⅱ）利用空间向量可求.

试题解析：(Ⅰ) 如图，连结AC1交A1C于点F，则F为AC1的中点．

又D是AB的中点，连结DF，则BC1∥DF．

∵BC1⊄平面A1CD，DF⊂平面A1CD，

∴BC1∥平面A1CD．                        4分

（Ⅱ）由AC＝CB＝AB，得AC⊥BC．

以C为坐标原点，的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz．

设CA＝2，则D(1，1，0)，E(0，2，1)，A1(2，0，2)，

∴＝(1，1，0)，＝(0，2，1)，＝(2，0，2)．

设n＝(x1，y1，z1)是平面A1CD的法向量，则

即，可取n＝(1，－1，－1)．

同理，设m是平面A1CE的法向量，则

，可取m＝(2，1，－2)．

从而cos＜n，m＞＝＝，  ∴sin＜n，m＞＝．

故二面角D-A1C-E的正弦值为．                 12分

考点：线面平行关系，二面角，空间向量的求解.