Question

已知函数f(x)＝＋aln(x－1)（a∈R）．

（Ⅰ）若f(x)在[2，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围；

（Ⅱ）当a＝2时，求证：1－＜2ln(x－1)＜2x－4（x＞2）；

（Ⅲ）求证：＋＋…＋＜lnn＜1＋＋ ＋（n∈N^*，且n≥2）．

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）详见解析.

【解析】

试题分析：(Ⅰ) 利用导数分析单调性，把恒成立问题转化为最值；(Ⅱ)利用导数分析函数的单调性可求；（Ⅲ）

利用放缩法和数列求和可证.

试题解析：(Ⅰ)由已知，得f(x)＝－1＋＋aln(x－1)，

求导数，得f ′(x)＝－＋．

∵f(x)在[2，＋∞)上是增函数，

∴f ′(x)≥0在[2，＋∞)上恒成立，即a≥在[2，＋∞)上恒成立，

∴a≥()max．

∵x≥2，∴0＜≤1，∴a≥1．

故实数a的取值范围为[1，＋∞)．                  4分

（Ⅱ）当a＝2时，由（Ⅰ）知，f(x)在[2，＋∞)上是增函数，

∴当x＞2时，f(x)＞f(2)，即－1＋＋2ln(x－1)＞0，

∴2ln(x－1)＞1－．

令g(x)＝2x－4－2ln(x－1)，则g′(x)＝2－＝．

∵x＞2，∴g′(x)＞0，

∴g(x)在(2，＋∞)上是增函数，

∴g(x)＞g(2)＝0，即2x－4－2ln(x－1)＞0，

∴2x－4＞2ln(x－1)．

综上可得，1－＜2ln(x－1)＜2x－4（x＞2）．            9分

（Ⅲ）由（Ⅱ），得1－＜2ln(x－1)＜2x－4（x＞2），

令x－1＝，则＜2ln＜2·，k＝1，2， ，n－1．

将上述n－1个不等式依次相加，得

＋＋ …＋＜2(ln＋ln＋…＋ln)＜2(1＋＋…＋)，

∴＋＋…＋＜2lnn＜2(1＋＋…＋)，

∴＋＋…＋＜lnn＜1＋＋…＋（n∈N*，且n≥2）．      14分

考点：导数，函数的单调性，数列求和.