Question

设函数 ()．

（Ⅰ）求的单调区间；

（Ⅱ）试通过研究函数（）的单调性证明：当时，；

（Ⅲ）证明：当,且均为正实数,  时，．

Answer

（1）单调递增区间为，单调递减区间为；（2）证明过程详见解析；（3）证明过程详见解析.

【解析】

试题分析：（1）求导数，讨论真数与1的大小来判断的正负；（2）利用函数的单调性证明大小关系；（3）利用柯西不等式列出不等式，两边取幂，两边去倒数，利用不等式的性质证明.

试题解析：（Ⅰ）由，有，     1分

当，即时，单调递增；

当，即时， 单调递减；

所以的单调递增区间为，单调递减区间为．      3分

（Ⅱ）设（），则，5分

由（Ⅰ）知在单调递减，且，

∴在恒成立，故在单调递减，

又，∴，得，

∴，即：．8分

（Ⅲ）由，及柯西不等式：

，                            

所以，

.      11分

又，由（Ⅱ）可知，

即，即.

则.

故.  14分

考点：1.用导数判断函数的单调性；2.利用函数的单调性比较大小；3.柯西不等式.