Question

设数列{a_n}满足a_n=2a_n-1+1（n≥2），且a₁=1，b_n=log₂（a_n+1）．
（1）证明：数列{a_n+1}为等比数列；
（2）求数列的前n项和S_n．

Answer

（1）由已知可得an+1=2（an-1+1），即可证明
（2）由（1）可求an，进而可求bn，代入利用裂项求和方法即可求解
（1）证明：∵an=2an-1+1（n≥2）
∴an+1=2（an-1+1），
∴数列{an+1}是以a1+1=2为首项，以2为公比的等比数列
（2）解由（1）可知，=2n
∴an=2n-1，bn=log2（an+1）=n
由于==
∴
=1-
=