Question

已知函数f（x）=lnx，g（x）=，（a≠0）
（1）若b=2，且h（x）=f（x）-g（x）在定义域上不单调，求a的取值范围；
（2）若a=1，b=-2设f（x）的图象C₁与g（x）的图象C₂交于点P、Q，过线段PQ的中点作x轴的垂线分别交C₁，C₂于点M、N，M、N的横坐标是m，求证：f′（m）＜g′（m）．

Answer

（1）h（x）=f（x）-g（x）在定义域上不单调，等价于h'（x）=0在（0，+∞）有实根，且不为重根，由此可求a的取值范围；
（2）利用分析法证明，设P（x1，y1） Q（x2，y2），且x1＜x2，证明f′（m）＜g′（m），只要证明-2即可．
（1）【解析】
∵函数f（x）=lnx，g（x）=，（a≠0），b=2，
∴h（x）=lnx--2x，x∈（0，+∞）
∵h（x）=f（x）-g（x）在定义域上不单调，
∴h'（x）=在（0，+∞）有实根，且不为重根
即ax2+2x-1=0在（0，+∞）有实根，且不为重根
∴a＞0或
∴a＞0或-1＜a＜0
∴a的取值范围是（-1，0）∪（0，+∞）．
（2）证明：f'（x）=，g'（x）=x-2
设P（x1，y1） Q（x2，y2），且x1＜x2
PQ中点为（），只要证明-2
又只要证明：
只要证明：
令，只要证明：，t∈（1，+∞）
令F（t）=lnt-，则F'（t）＞0，所以F（t）在（1，+∞）范围内为增函数
又F（1）=0，所以F（t）＞0在（1，+∞）范围内恒成立；
故得证．