Question

在棱长为1米的正四面体ABCD中，有一小虫从顶点A处开始按以下规则爬行，在每一顶点处以同样的概率选择通过这个顶点的三条棱之一，并一直爬到这条棱的尽头．记小虫爬了n米后重新回到点A的概率为P_n．则P₄=    ．

Answer

设这个四面体的四个顶点分别为ABCD，如果爬到第三次时，蚂蚁在A点，第四次一定不在A点，设蚂蚁第三次在A点的概率为X，那么最后的答案就是，以此类推蚂蚁第一次爬完之后在A点的概率为0，得到结果．
【解析】
由题意知本题是一个等可能事件的概率，
假设这个四面体的四个顶点分别为ABCD，小虫从A开始爬．
如果爬到第三次时，小虫在A点，那么第四次就一定不在A点，
∴设小虫第三次在A点的概率为X，那么最后的答案就是①
设小虫第二次在A点的概率为Y，那么最后的概率就是X=②
显然小虫第一次爬完之后在A点的概率为0，那么 Y=③
将③代入②，得X==④
将④代入①得P==
故答案为：