Question

已知tanα=函数f（x）=其中
（1）求f（x）的解析式；
（2）若数列{a_n}满足a_n+1=f（a_n）（n∈N^*）求证：
（i）a_n+1＞a_n（n∈N^*）；
（ii）1＜…+＜2（n≥2，n∈N^*）．

Answer

（1）由tan2α===1，将tanα=代入可求解，由α为锐角，得α，进而求得函数表达式．
（2）（i）由数列{an}满足an+1=f（an）（n∈N*），知，由此能够证明an+1＞an（n∈N*）．
（ii）由数列{an}满足，=an（an+1），能够导出，利用裂项求和法得到…+=2-，由此能够证明1＜…+＜2（n≥2，n∈N*）
【解析】
（1）【解析】
∵tan2α===1
又∵，
∴α=，∴sin（2α+）=1，
∴f（x）=x2+x．
（2）（i）∵数列{an}满足an+1=f（an）（n∈N*），
∴，
∴an+1-an=an2＞0，
∴an+1＞an（n∈N*）．
（ii）∵数列{an}满足，=an（an+1），
∴=，
∴，
∴…+=（）+（）+…+（）
=
=2-，
∴1＜…+＜2（n≥2，n∈N*）．