Question

（1）如图在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是AA₁的中点，求证：A₁C∥平面BDE；
（2）如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F、G分别是AB、AD、C₁D₁的中点，求证：平面D₁EF∥平面BDG．

Answer

（1）连接EO，证EO∥A1C即可；
（2）由面面平行的判定定理，证EF∥BD，D1E∥GB，即可证两个平面平行．
证明：（1）设AC∩BD=O
∵E、O分别是AA1、AC的中点，∴A1C∥EO
∵OE⊂平面BDE，A1C⊄平面BDE
∴A1C∥平面BDE
（2）∵E、F分别是AA1、AD的中点，∴EF∥BD
又EF⊄平面BDG，BD⊂平面BDG
∴EF∥平面BDG
∵D1G∥EB且D1G=EB
∴四边形D1GBE为平行四边形，D1E∥GB
又D1E⊄平面BDE，GB⊂平面BDG
∴D1E∥平面BDG
∵EF∩D1E=E
∴平面D1EF∥平面BDG