(I)对曲线C,进行求导,求出直线MA的方程和直线MB的方程,只要证明点M的中点横坐标为A、B横坐标的一般即可;
(II)将直线AB与曲线C联立,求出AB的长,得M的中点坐标,再根据点到直线的距离,求出点M到直线AB的距离,求出△MAB面积关于k的表达式;
【解析】
(I)证明:y′=x,设A(x1,y1),B(x2,y2);
直线MA的方程为y-y1=x1(x-x1)①,直线MB的方程为y-y2=x2(x-x2)②,
①-②得:点M的横坐标x=,所以点A,M,B的横坐标成等比数列,
(II)焦点F的坐标为(0,1),显然直线AB的斜率是存在的;
设直线AB的方程为y=kx+1
将直线AB的方程代入y=x2得:x2-4kx-4=0(△>0)
|AB|=4(1+k2),且xM=2k,又由①②得:yM=x1x2=-1,
从而点M到直线AB的距离d=2,
S△MAB=4≥4 当且仅当k=0时取等号;
故△MAB面积的最小值为4;