Question

F（-c，0）是双曲线-=1（a＞0，b＞0）的左焦点，P是抛物线y²=4cx上一点，直线FP与圆x²+y²=a²相切于点E，且PE=FE，若双曲线的焦距为2+2，则双曲线的实轴长为（ ）
A．4
B．2
C．
D．

Answer

确定∠FPF2=90°，根据△FEO∽△FPF2，可得PF2=2a，过F作x轴的垂线l，过P作PQ⊥l于Q，则PQ=PF2=2a，利用Rt△FPQ∽Rt△F2FQ，在Rt△FEO中，利用勾股定理，双曲线的焦距为2+2，建立方程，从而可求双曲线的实轴长．
【解析】
抛物线y2=4cx的焦点F2（c，0）
∵E为直线FP与以原点为圆心a为半径的圆的切点，PE=EF
∴OE为直线FP的中垂线 （O为原点）
∴OP=OF=c
又FF2=2c，O为FF2中点，OP=c
∴∠FPF2=90°（直角三角形中，直角顶点与斜边中点的连线长度为斜边的一半）
根据△FEO∽△FPF2，可得
∵EO=a，∴PF2=2a
过F作x轴的垂线l，过P作PQ⊥l于Q，则PQ=PF2=2a 
又Rt△FPQ∽Rt△F2FQ，令PF=2x=2EF，∴，即，即x2=ac=EF2
∴在Rt△FEO中，OF2=EF2+EO2，即c2=ac+a2
∵双曲线的焦距为2+2，
∴a2+（1+）a-（1+）2=0
∴
∴a1=2，a2=--3 （舍）
∴实轴长为4
故选A．