Question

已知集合A={x|（x-2）[x-（3a+1）]＜0}，集合B=．
（1）当a=2时，求A∩B；
（2）当a时，若元素x∈A是x∈B的必要条件，求实数a的取值范围．

Answer

（1）把a=2代入分别可解不等式化简A，B，可求交集；
（2）当a时，可解得B={x|2a＜x＜a2+1}，A={x|2＜x＜3a+1}，元素x∈A是x∈B的必要条件，即B是A的真子集，由2a≥2 且 a2+1≤3a+1，可解得答案．
【解析】
（1）当a=2时，可得集合A={x|（x-2）（x-7）＜0}={x|2＜x＜7}，
集合 B={x|}={x|4＜x＜5}，
∴A∩B={x|4＜x＜5}
（2）∵a2+1-2a=（a-1）2≥0，∴a2+1≥2a
∴B={x|2a＜x＜a2+1}
当a＞时，3a+1＞2∴A={x|2＜x＜3a+1}
∵元素x∈A是x∈B的必要条件，即B是A的真子集
∴2a≥2 且 a2+1≤3a+1
∴1≤a≤3，经验证当a=1，3时，均符合要求．
故实数a的取值范围为：1≤a≤3．