Question

已知数列{a_n}是公差不为0的等差数列，{b_n}是等比数列，其中a₁=3，b₁=1，a₂=b₂，3a₅=b₃，若存在常数u，v对任意正整数n都有a_n=3log_ub_n+v，则u+v=    ．

Answer

设{an}的公差为d，，{bn}的公比为q，由题设条件解得q=9时，d=6，故an=6n-3，bn=9n-1．由an=3logubn+v=+v，知6n-3-v=，分别今n=1和n=2，能够求出u+v．
【解析】
设{an}的公差为d，，{bn}的公比为q，
∵a1=3，b1=1，a2=b2，3a5=b3，
∴a2=3+d=q=b2，
3a5=3（3+4d）=q2=b3，
解方程得q=3，或q=9，
当q=3时，d=0，不符合题意，故舍去；
当q=9时，d=6．
an=3+（n-1）×6=6n-3，bn=qn-1=9n-1．
∵an=3logubn+v=+v，
∴6n-3-v=，
当n=1时，3-v=logu1=0，
∴v=3．
当n=2时，12-3-3=，
u6=93，u=3，
∴u+v=6．
故答案为：6．