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已知椭圆的两个焦点分别为,,点M(1,0)与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直. ...

已知椭圆manfen5.com 满分网的两个焦点分别为manfen5.com 满分网manfen5.com 满分网,点M(1,0)与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)过点M(1,0)的直线l与椭圆C相交于A,B两点,设点N(3,2),记直线AN,BN的斜率分别为k1,k2,求证:k1+k2为定值.
(Ⅰ)依题意,,a2-b2=2,利用点M(1,0)与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直,可得b=|OM|=1,从而可得椭圆的方程; (II)①当直线l的斜率不存在时,求出A,B的坐标,进而可得直线AN,BN的斜率,即可求得结论;②当直线l的斜率存在时,直线l的方程为:y=k(x-1),代入,利用韦达定理及斜率公式可得结论. 【解析】 (Ⅰ)依题意,,a2-b2=2, ∵点M(1,0)与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直, ∴b=|OM|=1, ∴.…(3分) ∴椭圆的方程为.…(4分) (II)①当直线l的斜率不存在时,由解得. 设,,则为定值.…(5分) ②当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为:y=k(x-1). 将y=k(x-1)代入整理化简,得(3k2+1)x2-6k2x+3k2-3=0.…(6分) 依题意,直线l与椭圆C必相交于两点,设A(x1,y1),B(x2,y2), 则,.…(7分) 又y1=k(x1-1),y2=k(x2-1), 所以= == ==..….…(13分) 综上得k1+k2为常数2..….…(14分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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