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已知函数f(x)=plnx+(p-1)x2+1. (1)讨论函数f(x)的单调性...

已知函数f(x)=plnx+(p-1)x2+1.
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)当P=1时,f(x)≤kx恒成立,求实数k的取值范围;
(3)证明:1n(n+1)<1+manfen5.com 满分网…+manfen5.com 满分网(n∈N+).
(1)利用导数来讨论函数的单调性即可,具体的步骤是:(1)确定 f(x)的定义域;(2)求导数fˊ(x);(3)在函数 的定义域内解不等式fˊ(x)>0和fˊ(x)<0;(4)确定 的单调区间.若在函数式中含字母系数,往往要分类讨论.(2)当P=1时,f(x)≤kx恒成立,分离参数等价于k≥,利用导数求函数h(x)=的最大值即可求得实数k的取值范围;(3)由(2)知,当k=1时,有f(x)≤x,当x>1时,f(x)<x,即lnx<x-1,令x=,则得到,利用导数的运算法则进行化简,然后再相加,即可证得结论. 【解析】 (1)f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=, 当p>1时,f′(x)>0,故f(x)在(0,+∞)上单调递增; 当p≤0时,f′(x)<0,故f(x)在(0,+∞)上单调递减; 当0<p<1时,令f′(x)=0,解得x=. 则当x时,f′(x)>0;x时,f′(x)<0, 故f(x)在(0,)上单调递增,在上单调递减; (2)∵x>0, ∴当p=1时,f(x)≤kx恒成立⇔1+lnx≤kx⇔k≥, 令h(x)=,则k≥h(x)max, ∵h′(x)==0,得x=1, 且当x∈(0,1),h′(x)>0;当x∈(1,+∞),h′(x)<0; 所以h(x)在0,1)上递增,在(1,+∞)上递减, 所以h(x)max=h(1)=1, 故k≥1. (3)由(2)知,当k=1时,有f(x)≤x,当x>1时,f(x)<x,即lnx<x-1, ∴令x=,则,即, ∴ln2-ln1<1,, 相加得1n(n+1)<1+…+.
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考点分析:
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得到频率分布直方图如下.已知抽取的学生中每天晚上有效学习时间少于60分钟的人数为5人;
(1)求n的值并补全下列频率分布直方图;
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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