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在锐角△ABC中,已知内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且满足2sinB(...

在锐角△ABC中,已知内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且满足2sinB(2cos2manfen5.com 满分网-1)=-manfen5.com 满分网cos2B.
(1)求B的大小;
(2)如果b=2,求△ABC的面积S△ABC的最大值.
(1)将已知等式左边括号中的两项利用二倍角的余弦函数公式化简,再利用二倍角的正弦函数公式化简,然后等式左右两边同时除以cos2B,利用同角三角函数间的基本关系弦化切求出tan2B的值,由B为锐角得出2B的范围,利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数; (2)由B的度数求出sinB及cosB的值,利用余弦定理得到b2=a2+c2-2accosB,将cosB及b的值代入,并利用基本不等式求出ac的最大值,再由三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积,将sinB的值及ac的最大值代入,即可求出三角形ABC面积的最大值. 【解析】 (1)由2sinB(2cos2-1)=-cos2B, 得2sinBcosB=sin2B=-cos2B, ∴tan2B=-,…(4分) ∵B为锐角,即0<2B<π, ∴2B=, ∴B=;…(6分) (2)∵B=,b=2, ∴由余弦定理b2=a2+c2-2accosB得:4=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac(当且仅当a=c=2时等号成立),…(9分) ∴△ABC的面积S△ABC=acsinB=ac≤, 则△ABC的面积最大值为.…(12分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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