Question

已知数列{b_n}中，b₁=1，且点（b_n+1，b_n）在直线y=x-1上．数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=2a_n+3，
（Ⅰ） 求数列{b_n}的通项公式
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）若c_n=a_n+3，求数列{b_nc_n}的前n项和S_n．

Answer

（Ⅰ）利用点（bn+1，bn）在直线y=x-1上，确定数列{bn}是以1为首项，1为公差的等差数列，可求数列{bn}的通项公式；
（Ⅱ）根据数列递推式an+1=2an+3，可得an+1+3=2（an+3），从而可得{an+3}是以4为首项，2为公比的等比数列，由此可求数列{an}的通项公式；
（Ⅲ）确定数列的通项，利用错位相减法，可得数列{bncn}的前n项和Sn．
【解析】
（Ⅰ）∵点（bn+1，bn）在直线y=x-1上，∴bn+1-bn=1
∵b1=1，∴数列{bn}是以1为首项，1为公差的等差数列
∴bn=n（n∈N*）；
（Ⅱ）∵an+1=2an+3，∴an+1+3=2（an+3）
∵a1=1，∴a1+3=4
∴{an+3}是以4为首项，2为公比的等比数列
∴an+3=4×2n-1=2n+1，
∴（n∈N*）；
（Ⅲ）cn=an+3=2n+1，∴bncn=n×2n+1，
∴Sn=1×22+2×23+…+n×2n+1，①
∴2Sn=1×23+2×24+…+n×2n+2，②
①-②可得：-Sn=1×22+1×23+…+1×2n+1-n×2n+2
∴（n∈N*）