Question

某公司今年年初用25万元引进一种新的设备，投入设备后每年收益为21万元．该公司第n年需要付出设备的维修和工人工资等费用a_n的信息如图．
（1）求a_n；
（2）引进这种设备后，第几年后该公司开始获利；
（3）这种设备使用多少年，该公司的年平均获利最大？

Answer

（1）由题意知，每年的费用是以2为首项，2为公差的等差数列，求得：an=a1+2（n-1）=2n．
（2）设纯收入与年数n的关系为f（n），则f（n）=20n-n2-25，由此能求出引进这种设备后第2年该公司开始获利．
（3）年平均收入为=20-（n+）≤20-2×5=10，由此能求出这种设备使用5年，该公司的年平均获利最大．
【解析】
（1）如图，a1=2，a2=4，
∴每年的费用是以2为首项，2为公差的等差数列，
∴an=a1+2（n-1）=2n．
（2）设纯收入与年数n的关系为f（n），
则f（n）=21n-[2n+×2]-25=20n-n2-25，
由f（n）＞0得n2-20n+25＜0，
解得10-5＜n＜10+5，
因为n∈N，所以n=2，3，4，…18．
即从第2年该公司开始获利．
（3）年平均收入为=20-（n+）≤20-2×5=10，
当且仅当n=5时，年平均收益最大．
所以这种设备使用5年，该公司的年平均获利最大．