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在如图所示的几何体中,四边形ABCD是等腰梯形,AB∥CD,∠DAB=60°,F...

在如图所示的几何体中,四边形ABCD是等腰梯形,AB∥CD,∠DAB=60°,FC⊥平面ABCD,AE⊥BD,CB=CD=CF.
(Ⅰ)求证:BD⊥平面AED;
(Ⅱ)求二面角F-BD-C的余弦值.

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(Ⅰ)由题意及图可得,先由条件证得AD⊥BD及AE⊥BD,再由线面垂直的判定定理即可证得线面垂直; (II)解法一:由(I)知,AD⊥BD,可得出AC⊥BC,结合FC⊥平面ABCD,知CA,CA,CF两两垂直,因此可以C为坐标原点,分别以CA,CB,CF所在的直线为X轴,Y轴,Z轴建立如图的空间直角坐标系,设CB=1,表示出各点的坐标,再求出两个平面的法向量的坐标,由公式求出二面角F-BD-C的余弦值即可; 解法二:取BD的中点G,连接CG,FG,由于 CB=CD,因此CG⊥BD,又FC⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,可证明出∠FGC为二面角F-BD-C的平面角,再解三角形求出二面角F-BD-C的余弦值. (I)证明:因为四边形ABCD是等腰梯形,AB∥CD,∠DAB=60°.所以∠ADC=∠BCD=120°.又CB=CD, 所以∠CDB=30°,因此,∠ADB=90°,AD⊥BD, 又AE⊥BD且,AE∩AD=A,AE,AD⊂平面AED, 所以BD⊥平面AED; (II)解法一:由(I)知,AD⊥BD,所以AC⊥BC, 又FC⊥平面ABCD,因此CA,CA,CF两两垂直,以C为坐标原点,分别以CA,CB,CF所在的直线为X轴,Y轴,Z轴建立如图的空间直角坐标系, 不妨设CB=1,则C(0,0,0),B(0,1,0),D(,-,0),F(0,0,1),因此=(,-,0),=(0,-1,1) 设平面BDF的一个法向量为=(x,y,z),则•=0,•=0 所以x=y=z,取z=1,则=(,1,1), 由于=(0,0,1)是平面BDC的一个法向量, 则cos<,>===,所以二面角F-BD-C的余弦值为 解法二:取BD的中点G,连接CG,FG,由于 CB=CD,因此CG⊥BD,又FC⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD, 所以FC⊥BD,由于FC∩CG=C,FC,CG⊂平面FCG. 所以BD⊥平面FCG.故BD⊥FG,所以∠FGC为二面角F-BD-C的平面角, 在等腰三角形BCD中,由于∠BCD=120°, 因此CG=CB,又CB=CF, 所以GF==CG, 故cos∠FGC=, 所以二面角F-BD-C的余弦值为
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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