Question

已知二次函数f（x）满足：函数f（x+1）为偶函数，f（x）的最小值为-4，函数f（x）的图象与x轴交点A，B的距离为4．
（1）求二次函数f（x）的解析式；      
（2）求函数f（x）在区间[t，t+2]的最大值g（t）．

Answer

（1）利用待定系数法，设出函数的解析式，根据函数f（x+1）为偶函数，函数f（x）的图象与x轴交点A，B的距离为4，即可求得二次函数f（x）的解析式；      
（2）结合函数的对称轴，分类讨论，确定函数在区间[t，t+2]上的单调性，即可求得函数f（x）在区间[t，t+2]的最大值g（t）．
【解析】
（1）∵f（x）的最小值为-4，∴可设f（x）=a（x-h）2-4（a＞0）…（2分）
∴f（x+1）=a（x+1-h）2-4
∵函数f（x+1）为偶函数
∴函数f（x+1）的对称轴为x=h-1=0
∴h=1          …（4分）
∴f（x）=a（x-1）2-4
由f（x）=a（x-1）2-4=0，可得x1=1-，x2=1+，
∴A、B的距离为|x1-x2|=2=4
∴a=1
∴f（x）=（x-1）2-4…（6分）
（2）∵f（x）=（x-1）2-4，∴
①t≥1时，f（x）在区间[t，t+2]上递增，∴f（x）|max=f（t+2）=t2+2t-3…（7分）
②0≤t＜1时，f（x）在区间[t，1]上递减，在[1，t+2]上递增，∴f（x）|max=f（t+2）=t2+2t-3…（8分）
③-1≤t＜0时，f（x）在区间[t，1]上递减，在[1，t+2]上递增，∴f（x）|max=f（t）=t2-2t-3…（9分）
④t＜-1时，f（x）在区间[t，t+2]上递减，∴f（x）|max=f（t）=t2-2t-3…（10分）
综上述，g（t）=…（12分）