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已知函数f(x)=x2+(x≠0,a∈R) (1)当a为何值时,函数f(x)为偶...

已知函数f(x)=x2+manfen5.com 满分网(x≠0,a∈R)
(1)当a为何值时,函数f(x)为偶函数;
(2)若f(x)在区间[2,+∞)是增函数,求实数a的取值范围.
(1)由已知中函数,根据函数奇偶性的定义,可判断出a=0时,f(x)=x2为偶函数; (2)根据f(x)在区间[2,+∞)是增函数,结合函数单调性的定义,可得当x2>x1≥2,f(x1)-f(x2)<0,由此构造关于a的不等式,解不等式可得实数a的取值范围. 【解析】 (1)当a=0时,f(x)=x2为偶函数;当a≠0时,f(x)既不是奇函数也不是偶函数. (2)设x2>x1≥2,=, 由x2>x1≥2得x1x2(x1+x2)>16,x1-x2<0,x1x2>0 要使f(x)在区间[2,+∞)是增函数只需f(x1)-f(x2)<0, 即x1x2(x1+x2)-a>0恒成立,则a≤16. 另解(导数法):,要使f(x)在区间[2,+∞)是增函数,只需当x≥2时,f'(x)≥0恒成立,即,则a≤2x3∈[16,+∞)恒成立, 故当a≤16时,f(x)在区间[2,+∞)是增函数.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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