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已知函数是奇函数,f(x)=lg(10x+1)+mx是偶函数. (1)求m+n的...

已知函数manfen5.com 满分网是奇函数,f(x)=lg(10x+1)+mx是偶函数.
(1)求m+n的值;
(2)设manfen5.com 满分网,若g(x)>h[lg(2a+1)]对任意x≥1恒成立,求实数a的取值范围.
(1)函数g(x)是奇函数,且在x=0处有意义,得g(0)=0,解得m,f(x)是偶函数利用f(-x)=f(x)解得n,从而得m+n的值. (2)g(x)>h[lg(2a+1)]对任意x≥1恒成立即lg(2a+2)小于2x-2-x的最小值,利用单调性的定义探讨该函数的单调性即可的其最小值,将恒成立问题转化为函数的最值问题,解不等式组即可的a的范围. 【解析】 (1)∵g(x)为奇函数,且定义域为R∴g(0)==0,解得n=1 ∵f(x)=lg(10x+1)+mx是偶函数. ∴f(-x)=lg(10-x+1)-mx=-mx=lg(10x+1)-x-mx=lg(10x+1)-(m+1)x =f(x)=lg(10x+1)+mx∴m=-(m+1),∴m=-∴m+n= (2)∵=lg(10x+1)  ∴h[lg(2a+1)]=lg[10lg(2a+1)+1]=lg(2a+2) ∵=2x-2-x ∴g(x)>h[lg(2a+1)]对任意x≥1恒成立即lg(2a+2)<2x-2-x对任意x≥1恒成立 取x1>x2≥1,则g(x1)-g(x2)=()>0 即当x≥1时,g(x)是增函数,∴g(x)min=f(1)= 由题意得2a+2<,2a+1>0,2a+2>0, 解得-<a<5-1 即a的取值范围是{a|-<a<5-1}
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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