Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AB=2，BC=，E，F分别是AD，PC的中点，
（1）证明：EF∥平面BAP；
（2）求平面BEF与平面BAP锐二面角的大小．

Answer

（1）以AB为x轴，以AD为y轴，以AP为z轴，建立空间直角坐标系，得到，平面BAP的法向量=（0，1，0），由此能够证明EF∥平面BAP．
（2）求出平面BEF的法向量=（，2，-），利用向量法能够求出平面BEF与平面BAP锐二面角．
【解析】
（1）以AB为x轴，以AD为y轴，以AP为z轴，建立空间直角坐标系，
∵四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，
AP=AB=2，BC=，E，F分别是AD，PC的中点，
∴P（0，0，2），C（2，2，0），E（0，，0），
∴F（1，，1），∴，
∵平面BAP的法向量=（0，1，0），
∴=0，
∴∥平面BAP，
∵EF⊄平面BAP，∴EF∥平面BAP．
（2）∵B（2，0，0），E（0，，0），F（1，，1），
∴，，
设平面BEF的法向量=（x，y，z），则，，
∴，
解得=（，2，-），
设平面BEF与平面BAP锐二面角为α，
则cosα=|cos＜，＞|=||=，
∴平面BEF与平面BAP锐二面角为．