Question

已知函数f（x）=ax++c（a、b、c是常数）是奇函数，且满足f（1）=，f（2）=．
（1）求a、b、c的值；
（2）试讨论函数f（x）在（0，+∞）上的单调性；
（3）试求函数f（x）在（0，+∞）上的最小值．

Answer

（1）根据奇函数的定义，得c=0．再根据f（1）=，f（2）=，建立关于a、b的方程组，解之即得a、b的值．
（2）对函数求导数，得f′（x）=，再讨论导数的正负，即可得到f（x）在（0，）上为减函数，在（，+∞）上为增函数．
（3）根据（2）的单调性，不难得到f（x）在（0，+∞）上的最小值为f（）=2．
【解析】
（1）∵函数f（x）是奇函数，
∴f（-x）+f（x）=0，即-ax-+c+ax++c=0，得c=0．
∵f（1）=，f（2）=，
∴a+b=且2a+=，解得a=2，b=．
∴a=2，b=，c=0．
（2）由（1）知，f（x）=2x+，
∴f′（x）=2-=．
∵当x∈（0，）时，f′（x）＜0，当x＞时，f′（x）＞0，
∴函数f（x）在（0，）上为减函数，在（，+∞）上为增函数．
（3）∵函数f（x）在（0，）上为减函数，在（，+∞）上为增函数
∴x=是函数的极小值点，且f（）是函数的极小值也是最小值
由此可得，函数f（x）在（0，+∞）上的最小值为f（）=2．