Question

如图，△PAD为等边三角形，ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，AB=2，E、F、G分别为PA、BC、PD中点，AD=2．
（Ⅰ）求证：EF∥平面PCD．
（Ⅱ）求证：AG⊥EF
（Ⅲ）求多面体P-AGF的体积．

Answer

（Ⅰ）由ABCD为矩形，知AD||BC，AD=BC，由E，F，G分别为PA，BC，PD中点，导出四形CFEG是平行四形，由此能够证明EF∥平面PCD．
（Ⅱ）由△PAD是等三角形，G为PD边的中点．知AG⊥PD，由此能够证明AG⊥EF．
（Ⅲ）由V三棱柱P-AFG=V三棱柱F-PAG，能够求出多面体P-AGF的体积．
（Ⅰ）证明：∵ABCD为矩形，
∴AD||BC，AD=BC，
又∵E，F，G分别为PA，BC，PD中点，
∴GE∥AD，GE=，∴CF∥AD，CF=，
∴GE∥CF，GE=CF，∴四形CFEG是平行四形，
∴CG∥EF，
又∵EF⊄平面PCD，CG⊂平面PCD，∴EF∥平面PCD．
（Ⅱ）证明：∵△PAD是等三角形，G为PD边的中点．
∴AG⊥PD，∵平面PAD⊥平面ABCD，∴CD⊥平面PAD，
∴CD⊥AG，∴AG⊥平面PCD，
∵CG∥EF，∴AG⊥EF．
（Ⅲ）【解析】
V三棱柱P-AFG=V三棱柱F-PAG，
=
=×．