Question

如图，已知长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD为正方形，E为线段AD₁的中点，F为线段BD₁的中点．
（1）求证：EF∥平面ABCD；
（2）设M为线段C₁C的中点，当的比值为多少时，DF⊥平面D₁MB，
并说明理由．

Answer

（1）要证：EF∥平面ABCD，只需证明EF∥AB，由直线与平面平行的判定定理可知EF∥平面ABCD．
（2）F为线段BD1的中点，当=时，易证DF⊥BD1，再证MF⊥平面BB1D1D，就能证明FM⊥DF，即可证明DF⊥平面D1MB．
【解析】
（1）∵E为线段AD1的中点，F为线段BD1的中点，
∴EF∥AB，
∵EF⊄平面ABCD，AB⊂平面ABCD，
∴EF∥面ABCD．
（2）当时，DF⊥平面D1MB．
证明如下：连接AC，BD．
设AC与BD交于点O、连接OF，FM．在长方体中，
∵O是BD的中点，
∴OF∥DD1且OF=DD1、而CM∥DD1且CM=DD1．
∴OF∥CM且OF=CM，
∴四边形OCMF是平行四边形．
∴FM∥OC．
∵DD1⊥平面ABCD，
∴D1D⊥OC，而OC⊥BD，
∴OC⊥平面BB1D1D，
∴OC⊥DF，
∴FM⊥DF．
∵，
∴D1D=BD．
∵F为BD1的中点，
∴DF⊥BD1．
∵FM∩BD1=F，
∴DF⊥平面BD1M．