Question

已知曲线f（x）=（x＞0）上有一点列P_n（x_n，y_n）（n∈N*），点P_n在x轴上的射影是Q_n（x_n，0），且x_n=2+1（n∈N*），x₁=1．
（1）求数列{x_n}的通项公式；
（2）设四边形P_nQ_nQ_n+1P_n+1的面积是S_n，求证：＜4．

Answer

（1）由xn=2xn-1+1，从而有xn+1=2（xn-1+1），故可得{xn+1}是公比为2的等比数列，进而可求数列{xn}的通项公式；
（2）先将四边形PnQnQn+1Pn+1的面积表示为：，再表示，进而利用放缩法可证．
【解析】
（1）由xn=2xn-1+1得xn+1=2（xn-1+1），∵x1=1∴xn+1≠0，
故{xn+1}是公比为2的等比数列，∴xn=2n-1．（6分）
（2）∵，∴QnQn+1=2n，而PnQn=，（9分）
∴四边形PnQnQn+1Pn+1的面积为：，∴，
故＜．（14分）