Question

已知二次函数f（x）的最小值为1，且f（0）=f（2）=3．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若f（x）在区间[2a，a+1]上不单调，求实数a的取值范围；
（3）在区间[-1，1]上，y=f（x）的图象恒在y=2x+2m+1的图象上方，试确定实数m的取值范围．

Answer

（1）用待定系数法先设函数f（x）的解析式，再由已知条件求解未知量即可
（2）只需保证对称轴落在区间内部即可
（3）转化为函数求最值问题，即可得到个关于变量m的不等式，解不等式即可
【解析】
（1）由已知∵f（x）是二次函数，且f（0）=f（2）
∴对称轴为x=1
又最小值为1
设f（x）=a（x-1）2+1
又f（0）=3
∴a=2
∴f（x）=2（x-1）2+1=2x2-4x+3
（2）要使f（x）在区间[2a，a+1]上不单调，则2a＜1＜a+1
∴
（3）由已知2x2-4x+3＞2x+2m+1在[-1，1]上恒成立
化简得m＜x2-3x+1
设g（x）=x2-3x+1
则g（x）在区间[-1，1]上单调递减
∴g（x）在区间[-1，1]上的最小值为g（1）=-1
∴m＜-1