Question

已知函数f（x）=-x³+bx²-3a²x（a≠0）在x=a处取得极值，
（1）用x，a表示f（x）；
（2）设函数g（x）=2x³-3af′（x）-6a³如果g（x）在区间（0，1）上存在极小值，求实数a的取值范围

Answer

（1）利用f′（a）=0找到b=2a再代入f（x）=-x3+bx2-3a2x即可．
（2）转化为g'（x）在区间（0，1）上有根且根两侧导函数值左负右正即可．
【解析】
（1）由题得 f′（x）=-x2+2bx-3a2，
因为f′（a）=0⇒b=2a⇒f（x）=-x3+2ax2-3a2x
所以f（x）=-x3+2ax2-3a2x．
（2）由已知，g（x）=2x3+3ax2-12a2x+3a3，令g'（x）=0⇒x=a或x=-2a
①若a＞0⇒当x＜a或x＞-2a时，g′（x）＞0；当-2a＜x＜a时，g′（x）＜0
所以当x=a∈（0，1）时，g（x）在（0，1）有极小值．
②同理当a＜0时，x=-2a∈（0，1），即a∈（-，0）时，g（x）在（0，1）有极小值
综上所述：当a∈（0，1）∪（-，0）时，g（x）在（0，1）有极小值