Question

已知函数f（x）=axlnx，在点（e，f（e））处的切线与直线4x-y=0平行．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数f（x）在[m，m+2]（m＞0）上的最小值．

Answer

（Ⅰ）因为函数f（x）=axlnx，所以定义域为（0，+∞），f'（x）=a（lnx+1）．因为在点（e，f（e））处的切线与直线4x-y=0平行，由此能求出f（x）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f'（x）=2（lnx+1），令f'（x）=0，得．由此讨论f（x）的单调性，能够求出函数f（x）的最小值．
【解析】
（Ⅰ）因为函数f（x）=axlnx，
所以定义域为（0，+∞），f'（x）=a（lnx+1）．…..（2分）
因为在点（e，f（e））处的切线与直线4x-y=0平行，
所以f'（e）=4，即a（lne+1）=4．…..（4分）
所以a=2．
所以f（x）=2xlnx．…..（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）f'（x）=2（lnx+1），
令f'（x）=0，得．
当时，f'（x）＜0，
所以函数f（x）在上单调递减；
当时，f'（x）＞0，
所以函数上单调递增．
所以①若时，函数f（x）的最小值是；
若时，函数f（x）在[m，m+2]上单调递增，
所以函数f（x）的最小值是f（m）=2mlnm．…..（13分）