Question

平面上有两点A（-1，0），B（1，0），点P为圆上（x-1）²+（y-1）²=8任意一点，求|AP|²+|BP|²的最小值，并求出此时点P的坐标．

Answer

将圆的方程化为参数方程，根据参数方程设出P的坐标为（1+2cosθ，1+2sinθ），再由A和B的坐标，利用两点间的距离公式表示出所求的式子，利用完全平方公式化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由正弦函数的值域即可得出所求式子的最小值，以及此时θ的度数，即可确定出此时P的坐标．
【解析】
圆（x-1）2+（y-1）2=8的参数方程是（θ为参数），
设点P的坐标为（1+2cosθ，1+2sinθ），
∵A（-1，0），B（1，0），
则|AP|2+|BP|2=（2+2cosθ）2+（1+2sinθ）2+（2cosθ）2+（1+2sinθ）2
=22+8cosθ+8sinθ=22+16sin（θ+），
所以当sin（θ+）=-1时，|AP|2+|BP|2取得最小值为6，
此时可取θ=，则点P的坐标为P（-1，-1）．