Question

在底面半径为6的圆柱内，有两个半径也为6的球面，两球的球心距为13，若作一个平面与两个球都相切，且与圆柱面相交成一椭圆，则椭圆的长轴长为    ．

Answer

设两个球的球心分别为O1、O2，椭圆的长轴为AB，作出由AB与O1O2确定平面α与两个球及圆柱的截面，并过A作O1O2的垂线，交圆柱的母线于点C，连接O1与AB切球O1的切点D．分别在Rt△O1DE中和Rt△ABC中，利用∠BAC=∠DO1E和余弦的定义，结合题中的数据建立关系式，即可解出AB的长，即得该椭圆的长轴长．
【解析】
设两个球的球心分别为O1、O2，所得椭圆的长轴为AB，
直线AB与O1O2交于点E，设它们确定平面α，
作出平面α与两个球及圆柱的截面，如图所示
过A作O1O2的垂线，交圆柱的母线于点C，设AB切球O1的大圆于点D，连接O1D
∵Rt△O1DE中，O1E=O1O2=，O1D=6
∴cos∠DO1E==
∵锐角∠DO1E与∠BAC的两边对应互相垂直
∴∠BAC=∠DO1E，
得Rt△ABC中，cos∠BAC==
∵AC长等于球O1的直径，得AC=12
∴椭圆的长轴AB=13
故答案为：13