Question

如图所示，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各棱长均为2，侧棱B₁B与底面ABC所成的角为，且侧面ABB₁A₁垂直于底面ABC．
（1）证明AB⊥CB₁；
（2）求三棱锥B₁-ABC的体积；
（3）求二面角C-AB₁-B的大小．

Answer

（1）在平面ABB1A1内，过B1作B1D⊥AB于D，由侧面ABB1A1⊥平面ABC，知B1D⊥平面ABC，故∠B1BA是B1B与底面ABC所成的角，由此能够证明AB⊥CB1．
（2）由B1D⊥平面ABC，知B1D是三棱锥B1-ABC的高，由B1B=2，∠B1BA=60°，得B1D=2sin60°=．由此能求出三棱锥B1-ABC的体积．
（3）由△ABC是正三角形，CD⊥AB，CD⊥B1D，知CD⊥平面ABB1．在平面ABB1中作DE⊥AB1于E，连接CE，则CE⊥AB1，故∠CED为二面角C-AB1-B的平面角，由此能求出二面角C-AB1-B的大小．
【解析】
（1）在平面ABB1A1内，过B1作B1D⊥AB于D，
∵侧面ABB1A1⊥平面ABC，∴B1D⊥平面ABC，
∴∠B1BA是B1B与底面ABC所成的角，
∴∠B1BA=60°，（2分）
∵三棱柱的各棱长均为2．
∴△ABB1是正三角形，
∴D是AB的中点，连接CD．
在正△ABC中，CD⊥AB，
∴AB⊥CB1．（4分）
（2）∵B1D⊥平面ABC，
∴B1D是三棱锥B1-ABC的高，
∴由B1B=2，∠B1BA=60°，
得B1D=2sin60°=．（6分）
∴=S△ABC•B1D
=（××2×2）•=1．（8分）
（3）∵△ABC是正三角形，CD⊥AB，CD⊥B1D，
∴CD⊥平面ABB1．
在平面ABB1中作DE⊥AB1于E，连接CE，则CE⊥AB1，
∴∠CED为二面角C-AB1-B的平面角，（10分）
在Rt△CED中，CD=2sin60°=，
连接BA1交AB1于O，则BO=，
∴DE=BO=，∴tanCED==2，
∴所求二面角C-AB1-B的大小为arctan2．（12分）