Question

如图为河岸一段的示意图．一游泳者站在河岸的A点处，欲前往对岸的C点处，若河宽BC为100m，A、B相距100m，他希望尽快到达C，准备从A步行到E（E为河岸AB上的点），再从E游到C．已知此人步行速度为v，游泳速度为0.5v．
（1）设∠BEC=θ，试将此人按上述路线从A到C所需时间T表示为θ的函数，并求自变量θ的取值范围；
（2）当θ为何值时，此人从A经E游到C所需时间T最小，其最小值是多少？

Answer

（1）分别求出从A步行道E所用、从E游到C的路程，即可得到从A到C所需时间T表示为θ的函数，利用E位于A处时，θ取最小值，E位于B处时，θ取最大值，可得自变量θ的取值范围；
（2）求导函数，可得，确定函数的单调性，即可得到θ=时，T取得极小值，也是最小值．
【解析】
（1）由题意，从A步行道E所用时间为，AE=AB-BE=100（1-）
从E游到C，所用时间为，EC=
∴T=
∵E位于A处时，θ取最小值，E位于B处时，θ取最大值
∴自变量θ的取值范围为；
（2）求导函数，可得
∴时，cosθ，T′＜0；时，cosθ，T′＞0
∴θ=时，T取得极小值，也是最小值为．