Question

已知f（x）=x|x-a|+2x-3
（Ⅰ）当a=4，2≤x≤5时，问x分别取何值时，函数f（x）取得最大值和最小值，并求出相应的最大值和最小值；
（Ⅱ）若f（x）在R上恒为增函数，试求a的取值范围；
（Ⅲ）已知常数a=4，数列{a_n}满足，试探求a₁的值，使得数列{a_n}（n∈N⁺）成等差数列．

Answer

（Ⅰ）由当a=4时，确定函数f（x）=x|x-4|+2x-3，再用分类讨论去绝对值可得（1）2≤x＜4时，f（x）=x（4-x）+2x-3=-（x-3）2+6（2）当4≤x≤5时，f（x）=x（x-4）+2x-3=（x-1）2-4，分别用二次函数法示得最值，再从中选最大的为最大值，最小的为最小值．（Ⅱ）先转化为分段函数，若f（x）在R上恒为增函数，则由每一段必须都为增函数求解（Ⅲ）由（I）得到，再用分类讨论去绝对值，①当an＜4时，an+1=-an+6，即an+1+an=6（②当an≥4时an+1=an-2，即an+1-an=-2分别研究，再综合求解．
【解析】
（Ⅰ）当a=4时，f（x）=x|x-4|+2x-3
（1）2≤x＜4时，f（x）=x（4-x）+2x-3=-（x-3）2+6
当x=2时，f（x）min=5；当x=3时，f（x）max=6
（2）当4≤x≤5时，f（x）=x（x-4）+2x-3=（x-1）2-4
当x=4时，f（x）min=5；当x=5时，f（x）max=12
综上所述，当x=2或4时，f（x）min=5；当x=5时，f（x）max=12

（Ⅱ）
f（x）在R上恒为增函数的充要条件是，解得-2≤a≤2

（Ⅲ），
①当an＜4时，an+1=-an+6，即an+1+an=6（1）
当n=1时，a1+a2=6；当n≥2时，an+an-1=6（2）
（1）-（2）得，n≥2时，an+1-an-1=0，即an+1=an-1
又{an}为等差数列，∴an=3（n∈N*）此时a1=3
②当an≥4时an+1=an-2，即an+1-an=-2∴d=-2
若d=-2时，则an+1=an-2（3），将（3）代入（1）得an-4=|an-4|，
∴an≥4对一切n∈N*都成立
另一方面，an=a1-2（n-1），an≥4当且仅当时成立，矛盾
∴d=-2不符合题意，舍去．
综合①②知，要使数列{an}（n∈N+）成等差数列，则a1=3