Question

已知数列{a_n}，a₁=1，a₃=4，其前n项和S_n满足S_n+1=2S_n+1，n∈N^*．
（Ⅰ）证明{S_n+1}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{na_n}的前n项和为T_n．

Answer

（Ⅰ）由Sn+1=2Sn+1，知Sn+1+1=2（Sn+1），利用构造法能够证明{Sn+1}是等比数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，故，当n≥2时，，所以nan=n•2n-1，由此利用错位相减法能够求出数列{nan}的前n项和Tn．
【解析】
（Ⅰ）∵Sn+1=2Sn+1，
∴Sn+1+1=2（Sn+1），
∴=2，
∵a1=1，∴S1+1=2，
∴{Sn+1}是首项为2，公比为2的等比数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，
∴，
当n≥2时，，
∵a1=1，∴an=2n-1，（n∈N*），
∴nan=n•2n-1，
∴+n•2n-1，①
2Tn=1•2+2•22+3•23+…+（n-2）•2n-2+n•2n，②
①-②，得-Tn=1+2+22+…+2n-2+2n-1-n•2n，
∴．