Question

已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且f（1）=2，任取a、b∈[-1，1]，a+b≠0，都有＞0成立
（1）判断f（x）的单调性，并说明理由；     
（2）解不等式f（x）＜
（3）若f（x）≤2m²-2am+3对所有的m∈[0，3]恒成立，求a的范围．

Answer

（1）利用题目给出的等式及函数单调性的定义判断函数f（x）的单调性；
（2）在保证不等式本身有意义的前提下，运用（1）判明的函数f（x）的增减性脱掉对应关系求解不等式；
（3）先求出函数f（x）在[-1，1]上的最大值，代入不等式后得到新不等式，然后借助于分离变量法求实数a的取值范围．
【解析】
（1）取a=x1，b=-x2∈[-1，1]，且x1＞x2，则x1-x2=a+b＞0，
因为f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，则f（a）+f（b）=f（x1）+f（-x2）=f（x1）-f（x2），
所以=，所以f（x1）＞f（x2）
所以函数f（x）是定义在[-1，1]上的增函数．
（2）因为f（x）是定义在[-1，1]，且函数f（x）是定义在[-1，1]上的增函数，
所以⇔，解得：
所以不等式f（x）＜的解集为[0，）
（3）因为函数f（x）是定义在[-1，1]上的增函数，
所以在[-1，1]上函数f（x）的最大值为f（1）=2，
若f（x）≤2m2-2am+3对所有的m∈[0，3]恒成立，即2≤2m2-2am+3对所有的m∈[0，3]恒成立，
也就是2m2-2am+1≥0恒成立，
分离变量得：恒成立，
因为（当且仅当时取等号）
所以．
所以所求a的范围是（-∞，]．