Question

设函数f（x）=＞0
（1）若f（x）在[2，+∞﹚上单调递增，求a的取值范围；
（2）求f（x）在区间﹙0，1]上的最小值；   
（3）当a=2时，方程f（x）-m=0在[，e]上有两个不同的根，求m的范围．

Answer

（1）f′（x）=，x＞0．由函数f（x）在[2，+∞）上单调递增，知a≥在[2，+∞）上恒成立．由此能求出a的取值范围．
（2）令f′（x）=0，得x=，由x∈（0，1]，知a≥1，当x∈（0，）时，f′（x）＜0，当x∈（，1）时，f′（x）＞0，由此能求出f（x）在区间（0，1]上的最小值．
（3）由题设知m=lnx+在[，e]内有两个不等的实根，令g（x）=lnx+，则g'（x）=-，由此能求出m的范围．
【解析】
（1）∵函数f（x）=＞0，
∴f′（x）=，x＞0．
∵函数f（x）在[2，+∞）上单调递增，
∴f′（x）≥0在[2，+∞）上恒成立，
即a≥在[2，+∞）上恒成立．
又∵当x∈[2，+∞）时，≤，
∴a≥，即a的取值范围为[，+∞）．
（2）令f′（x）=0，得x=，
∵x∈（0，1]，∴0＜≤1，即a≥1．
当x∈（0，）时，f′（x）＜0，
当x∈（，1）时，f′（x）＞0，
∴f（x）在区间（0，1]上的最小值为：
f（x）min=f（）=ln+1-．
（3）由题设知m=lnx+在[，e]内有两个不等的实根，
令g（x）=lnx+，则g'（x）=-，
令g'（x）=0，得x=0（舍），x=，
所以 在（0，]内，g（x）单调减  在[，+∞]内g（x）单调增
而g（）=ln+，g（）=ln+=＜g（e）=lne+=1+=+，
所以．